Question

【題目】已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N.當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證BM＋DN＝MN．

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系?寫出猜想，并加以證明．

（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）、BM＋DN=MN成立，證明過程見解析；（2）、DN－BM＝MN，證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）、在MB的延長線上，截得BE=DN，連接AE得到△ABE≌△AND，從而得到AE=AN，然后證明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，從而得出答案；（2）、在DC上截取DF=BM，連接AF得到△ABM≌△ADF，然后證明△MAN≌△FAN，得到所求的答案.

試題解析：（1）、BM＋DN=MN成立．

如下圖1，在MB的延長線上，截得BE=DN，連接AE，易證：△ABE≌△AND，∴AE=AN．

∴∠EAB=∠NMD．∴∠BAD=90°,∠NAM=45°

∴∠BAM+∠NMD=45°．∴∠EAB+∠BAM=45°．∴∠EAM=∠NAM 又AM為公共邊，∴△AEM≌△ANM ，

∴ME=MN，∴ME=BE＋BM=DN＋BM.∴DN+BM=MN.

（2）、DN－BM＝MN．

如圖2，在DC上截取DF=BM，連接AF．∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，∴△ABM≌△ADF （SAS）

∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．

又∠MAN=45°，∴∠NAF=∠MAN=45°．∵AN=AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN=FN，即 MN=DN－DF=DN－BM；