Question

如圖1，在等腰△ABC中，底邊BC＝8，高AD＝2，一動點Q從B點出發，以每秒1個單位的速度沿BC向右運動，到達D點停止；另一動點P從距離B點1個單位的位置出發，以相同的速度沿BC向右運動，到達DC中點停止；已知P、Q同時出發，以PQ為邊作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同側，設運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）當點N落在AB邊上時，t的值為   ，當點N落在AC邊上時，t的值為   ；
（2）設正方形PQMN與△ABC重疊部分面積為S，求出當重疊部分為五邊形時S與t的函數關系式以及t的取值范圍；
（3）（本小題選做題，做對得5分，但全卷不超過150分）
如圖2，分別取AB、AC的中點E、F，連接ED、FD，當點P、Q開始運動時，點G從BE中點出發，以每秒 個單位的速度沿折線BE－ED－DF向F點運動，到達F點停止運動．請問在點P的整個運動過程中，點G可能與PN邊的中點重合嗎？如果可能，請直接寫出t的值或取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

（1）1   
（2）  
（3）可能．t＝0或t＝2或4≤t≤5

試題分析：本題屬于學科綜合題，代數知識與幾何知識有機結合在一起，體現了數形結合的思想，解答此類綜合題關鍵是數與形的靈活轉化.（1）當點N落在AB邊上時，NP=1,NP∥AD,利用平行線對應線段成比例的性質可算出t的值；當N落在AC邊上時,正方形的邊長不再是1,Q點已經停在D點,PD=t-3,∴PN="t-3," PC=4-(t-3)=7-t ∵PN∥DA ∴ ∴ ∴t=．（2）畫出運動中的圖形，根據具體圖形利用未知數t的代數式表示并求其面積.（3）重點是準確畫出圖形變化，PN中點與G何時重合.
試題解析： （1）解：∵NP∥AD    PN=1  AD="2" ∴ ∴PN是△ABD的中位線 ∴BP=2∴t=1
∵PD="t-3," ∴PN="t-3," PC=4-(t-3)=7-t 
∵PN∥DA ∴∴ ∴t=．
( 2 )當  0＜t＜1，重疊部分為梯形，當1＜t＜2時,設EQ交AB于R，則重疊部分為五邊形PQREN.

（2）當1＜t＜2時, 設EQ交AB于R，則重疊部分為五邊形PQREN.
∵ME＝2－t，MR＝ ME＝(2－t)∴S_△MRE ＝ ME·MR＝(2－t)²
∴S＝S_{正方形PQMN}－S_△MRE ＝1－(2－t)²＝－t²＋t 

當＜t＜5時
設MN交AC于S，PN交AC于T，則重疊部分為五邊形PQMST
∵AM＝2－(t－3)＝5－t，MS＝2AM＝2(5－t) PC＝7－t，PT＝ PC＝(7－t)
∴S_△AMS ＝ AM·MS＝(5－t)²，S_△PTC ＝ PC·PT＝(7－t)²
又S_△ADC ＝ AD·CD＝×2×4＝4
∴S＝S_△ADC－S_△AMS －S_△PTC ＝4－(5－t)²－(7－t)²＝－t²＋t－
綜上所述，當重疊部分為五邊形時S與t的函數關系式為：

（3）可能． t＝0或t＝2或4≤t≤5
當t=0時，QP=1,GP=,G為BE中點，也為NP中點．

當t=2時，G點所走路程為_×2=，到達DE中點.正方形 PQEN運動到圖形位置，EQ=1，GP= NP為NP中點.

當4≤t≤5時，DP=t-3 設NP與DF相交與點R則PR=(t-3) 由勾股定理得DR= (t-3) 此時DG=t-= (t-3) 所以點R與點G重合.