Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（a≠0）與y軸交與點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設△MBN的面積為S，點M運動時間為t，試求S與t的函數關系，并求S的最大值；

（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=，運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）t=或t=．

【解析】

（1）把點A、B、C的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數a、b、c的解析式，通過解方程組求得它們的值；

（2）設運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數關系式．利用二次函數的圖象性質進行解答；

（3）根據余弦函數，可得關于t的方程，解方程，可得答案．

（1）∵點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1，

∴A（﹣2，0），把點A（﹣2，0）、B（4，0）、點C（0，3），

分別代入（a≠0），得：，解得：，所以該拋物線的解析式為：；

（2）設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．

由題意得，點C的坐標為（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．

如圖1，過點N作NH⊥AB于點H，

∴NH∥CO，

∴△BHN∽△BOC，

∴，即，

∴HN=t，

∴S△MBN=MBHN=（6﹣3t）t，

即S=，

當△PBQ存在時，0＜t＜2，

∴當t=1時，S△PBQ最大=．

答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；

（3）如圖2，在Rt△OBC中，cos∠B=．

設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．

①當∠MNB=90°時，cos∠B=，即，化簡，得17t=24，解得t=；

②當∠BMN=90°時，cos∠B=，化簡，得19t=30，解得t=．

綜上所述：t=或t=時，△MBN為直角三角形．