Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥DB交AB于點E，過B、D、E三點作⊙O．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O交BC于點F，連接EF，若BC=9，CA=12．求

EF

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）要想證明AC是切線，需要先連接OD，利用“經過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線”來證明AC是⊙O的切線，所以需要根據∠OBD=∠ODB，∠CBD=∠ABD，求得BC∥OD從而得到OD⊥AC；
（2）先利用△ADO∽△ACB求出半徑r的值，再利用△BEF∽△BAC的相似比即可求出

EF

AC

的值為

3

4

．

解答：（1）證明：連接OD，
∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°．
∴BE是⊙O的直徑．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD．
∴∠CBD=∠ODB．
∴BC∥OD．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴OD⊥AC．（1分）
∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．（2分）

（2）解：設⊙O的半徑為r，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，
∴AB=15．（3分）
∵BC∥OD，
∴△ADO∽△ACB．
∴

AO

AB

=

OD

BC

，
∴

15-r

15

=

r

9

，
∴r=

45

8

，
∴BE=

45

4

，（4分）
又∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

BE

BA

=

45 4

15

=

3

4

．（5分）

點評：主要考查了角平分線的性質和切線的判定以及相似三角形中的成比例線段的運用．要掌握角平分線的性質和切線的判定，要會靈活運用相似中的成比例線段某條線段的長度或比值．