Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點D，連接CD并延長交AB的延長線于點F．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若∠F=30°，EB=4，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S陰=4﹣．

【解析】試題（1） 根據兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，證明 ,利用全等三角形“SAS”判定定理，證明 ，得到OD⊥CD，所以CF為⊙O的切線.

（2） 利用三角函數和角度的關系，計算出OA，OC的長度和∠DOA的度數，分別求出四邊形OACD和扇形OAD的面積，相減即可得到陰影部分的面積.

試題解析：（1）證明：如圖連接OD．

∵四邊形OBEC是平行四邊形，

∴OC∥BE，

∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠DOC=∠AOC，

在△COD和△COA中，

，

∴△COD≌△COA，

∴∠CAO=∠CDO=90°，

∴CF⊥OD，

∴CF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，

∴∠AOD=120°，

∵OD=OB，

∵∠DOC=∠AOC=60°，

∵EB=4，∴OD=2，CD=，

∴ .