Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；

（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、 B₁的坐標分別為 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代數式表示－，并求出當S=36時點A₁的坐標；

（3）在圖1中，設點D坐標為(1，3)，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

                                                    

                                                    

Answer 1

解：（1）對稱軸：直線

解析式：或

                  頂點坐標：M（1，）

            （2）由題意得       

3

得：①

  

得：  ②

把②代入①并整理得：(S＞0) (事實上，更確切為S＞6)

當時， 解得：(注：S＞0或S＞6不寫不扣

分)  把代入拋物線解析式得       ∴點A₁（6，3）

（3）存在

           解法一：易知直線AB的解析式為，可得直線AB與對稱軸的

交點E的坐標為

∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t

     當∥時，

                得

    下面分兩種情況討論: 設直線PQ與直線AB、x軸的交點分別為點F、G

①當時，如圖1-1        ∵△FQE∽△FAG  ∴∠FGA＝∠FEQ

               ∴∠DPQ＝∠DEB   易得△DPQ∽△DEB  ∴

∴   得   ∴(舍去)

②     當時，如圖1-2

∵△FQE∽△FAG  ∴∠FAG＝∠FQE

                ∵∠DQP＝∠FQE    ∠FAG＝∠EBD

∴∠DQP＝∠DBE   易得△DPQ∽△DEB

       ∴

     ∴，    ∴

                           ∴當秒時，使直線、直線、軸圍成的三角形與直線、直線、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似

                            (注:未求出能得到正確答案不扣分)

                             解法二：可將向左平移一個單位得到,再用解法一類似的方法可求得

                                     , ,

                                    ∴