Question

（1998•江西）如圖，在△ABC中，AC=BC，E是內心，AE的延長線交△ABC的外接圓于D．
求證：（1）BE=AE；
（2）

AB

AC

=

AE

DE

．

Answer 1

分析：（1）根據等邊對等角可以證得∠CAB=∠CBA，然后根據內心的定義即可證得∠1=∠3，從而依據等角對等邊即可證得；
（2）首先證明△BED是等腰三角形，然后證明△ABC∽△EBD，根據相似三角形的對應邊的比相等，以及（1）的結論即可證得．

解答：證明：（1）∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA，
又∵E是內心，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∴BE=AE；

（2）∵∠BED=∠1+∠3，∠EDB=∠2+∠5，
又∵∠5=∠4，
∴∠BED=∠EDB，
∴BD=DE，
∴

BD

BC

=

DE

CA

，
又∵∠D=∠C
∴△ABC∽△EBD，
∴

AB

AC

=

BE

DE

，
∵BE=AE，
∴

AB

AC

=

AE

DE

．

點評：本題考查了三角形的內心的性質，以及等腰三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，證明△ABC∽△EBD是關鍵．