Question

【題目】已知拋物線G1：y=ax2+bx+c的頂點為（2，﹣3），且經過點（4，1）．

（1）求拋物線G1的解析式；
（2）將拋物線G1先向左平移3個單位，再向下平移1個單位后得到拋物線G2 ， 且拋物線G2與x軸的負半軸相交于A點，求A點的坐標；
（3）如果直線m的解析式為 ，點B是（2）中拋物線G2上的一個點，且在對稱軸右側部分（含頂點）上運動，直線n過點A和點B．問：是否存在點B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線G1：y=ax2+bx+c的頂點為（2，﹣3），且經過點（4，1），

可設拋物線G1：y=a（x﹣2）2﹣3，

把（4，1）代入得：1=4a﹣3，解得：a=1，

所以拋物線G1：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1

（2）解：拋物線G1：y=（x﹣2）2﹣3先向左平移3個單位，再向下平移1個單位后得到拋物線G2：y=（x+1）2﹣4，

令y=0，得：0=（x+1）2﹣4，解得：x=﹣3，或x=1（舍去），

所以點A（﹣3，0）

（3）解：直線m與x軸，y軸的交點分別為F，E，

當直線n與G2交點在x軸上方時，直線n與x軸，y軸的交點為A，D，與拋物線交點B，與直線m交與點C，

當直線n與G2交點在x軸下方時，直線n1與x軸，y軸的交點為A，H，與拋物線交點B1，與直線m交與點L，

當直線n與G2交點在x軸上方時，如圖1：

由題意△CDE∽△CFA，此時有：∠CDE=∠CFA，

直線m的解析式為 ，當x=0時，y=3，當y=0時，x=﹣6，

∴點E（0，3），點F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠CDE=tan∠CFA= ，

∴ = ，

∵OA=3，

∴OD=6，

點D（0，6），

設直線n：y=mx+n，把D（0，6），點A（﹣3，0）代入得： ，

解得： ，

∴直線n：y=2x+6，

聯立直線n和拋物線G2得： ，

解得：x=3，或x=﹣3（舍去）

此時y=12，

所以：點B（3，12），

當直線n與G2交點在x軸下方時，如圖2：

由題意△HLE∽△FLA，此時有：∠ELH=∠FLA=90°，

∠EHA=∠LFA，

直線m的解析式為 ，當x=0時，y=3，當y=0時，x=﹣6，

∴點E（0，3），點F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠EHA=tan∠LFA= ，

∴ = ，

∵OA=3，

∴OH=6，

點H（0，﹣6），

設直線n：y=mx+n，把D（0，﹣6），點A（﹣3，0）代入得：

解得： ，

∴直線n：y=﹣2x﹣6，

聯立直線n和拋物線G2得： ，

解得：x=﹣1，或x=﹣3（舍去）

此時y=﹣4，

所以：點B1（﹣1，﹣4），

綜上所述：存在點B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似，點B的坐標為（3，12）和（﹣1，﹣4）

【解析】（1）把解析式設成頂點式，再把另一點坐標代入解析式;（2）利用拋物線平移法則“左加右減，上加下減”可求出解析式;（3）分類討論，在上側和下側，利用相似的判定定理逆向推理，由相似可推角相等，由角相等可得正切相等，列出方程.