Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC交⊙O于點F．
（1）AB與AC的大小有什么關系？為什么？
（2）按角的大小分類，請你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說明理由．

小明按下面的方法作出了∠MON的平分線：
①反向延長射線OM；
②以點O為圓心，任意長為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點A、B，交射線OM的反向延長線于點C；
③連接CB；
④以O為頂點，OA為一邊作∠AOP=∠OCB．
（1）根據上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說明理由．
（2）若過點A作⊙O的切線交射線OP于點F，連接AB交OP于點E，當∠MON=60°、OF=10時，求AE的長．

Answer 1

（1）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC；

（2）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠B＜∠ADB=90°
∠C＜∠ADB=90°
∴∠B、∠C為銳角，
∵AC和⊙O交于點F，連接BF，
∴∠A＜∠BFC=90°
∴△ABC為銳角三角形；

①∵∠AOF=∠OCB
又∵∠BOA=2∠OCB
∴∠AOF=∠BOF
∴OP為∠BOA的角平分線

②∵∠MON=60°
∴△AOB為正三角形
∵OP平分∠MON
∴AE=BE=

1

2

AB
∵OP平分∠BOD
∴∠BOF=30°
又∵AF與⊙O相切
∴AF⊥AO
∵AO=5

3

∴AB=AO=5

3

∴AE=

5 3

2

．