Question

【題目】如圖，是的直徑，點在上，過點作的切線．

求證：；

延長到，使，連接與交于點，若的半徑為，，求的外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）的外接圓的半徑為：．

【解析】

（1）連接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切線得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，即可得出結論，（2）證明△AEC是直角三角形，即可得△AEC的外接圓的直徑是AC，再證得△ABC∽△CDE，根據相似三角形的性質求得BC的長，利用勾股定理求出AC的長，即可求得△ACE的外接圓的半徑．

證明：如圖，連接，

∵為的直徑，

∴，

∴，

又∵是的切線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴是直角三角形，

∴的外接圓的直徑是，

又∵，，

∴，

∴，

的半徑為，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的外接圓的半徑為的一半，故的外接圓的半徑為：．