Question

如圖,是的角平分線, 延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)的圓交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．
(1)求證：∽；
(2) 若, 求的長(zhǎng)；
(3) 若∥, 試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)兩圓的相交弦
在圓中，，
在圓中，，
∴，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823021135618410.png" style="vertical-align:middle;" />是角平分線，得∠BAE=∠CAE，       
∴，
∵，
∴∽．             
（2）∵∽，
∴ ，             
∴，
∴．              
（3）證明：根據(jù)同弧上的圓周角相等，
得到：，，
∴，
∵=180°，
∴=180°，
又=180，
∴ ．
∵∥，，
又∵，
∴∠AEB =∠ABE ，
∴為等腰三角形．

（1）可通過(guò)證兩組對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證兩三角形相似．
（2）根據(jù)（1）中得出的相似三角形即可得出AE，DE，EF這三條線段的比例關(guān)系，有了AD，DE的長(zhǎng)，即可求出EF的值．
（3）可通過(guò)證角的關(guān)系來(lái)得出三角形的形狀．