Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點A（-3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，-3）．點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線y=-x+m過點C，交y軸于D點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點E，A、B的坐標代入函數表達式，即可求出a、b、c的值；
（2）根據C點的坐標求出直線CD的解析式，然后結合圖形設出K點的坐標（t，0），表達出H點和G點的坐標，列出HG關于t的表達式，根據二次函數的性質求出最大值；
（3）需要討論解決，①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，當點N在點M的左側時，MN=3-n；當點N在點M的右側時，MN=n-3，然后根據已知條件在求n的坐標就容易了
②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線時，由“點C與點A關于點B中心對稱”知：點M與點N關于點B中心對稱，取點F關于點B的對稱點P，則P點坐標為（-1，0），過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，結合已知條件再求n的坐標就容易了．

解答：解：（1）設拋物線的函數表達式為y=a（x-1）（x+3）
∵拋物線交y軸于點E（0，-3），將該點坐標代入上式，得a=1
∴所求函數表達式為y=（x-1）（x+3），
即y=x²+2x-3；

（2）∵點C是點A關于點B的對稱點，點A坐標（-3，0），點B坐標（1，0），
∴點C坐標（5，0），
∴將點C坐標代入y=-x+m，得m=5，
∴直線CD的函數表達式為y=-x+5，
設K點的坐標為（t，0），則H點的坐標為（t，-t+5），G點的坐標為（t，t²+2t-3），
∵點K為線段AB上一動點，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t²+2t-3）=-t²-3t+8=-（t+

3

2

）²+

41

4

，
∵-3＜-

3

2

＜1，
∴當t=-

3

2

時，線段HG的長度有最大值

41

4

；

（3）∵點F是線段BC的中點，點B（1，0），點C（5，0），
∴點F的坐標為（3，0），
∵直線l過點F且與y軸平行，
∴直線l的函數表達式為x=3，
∵點M在直線l上，點N在拋物線上，
∴設點M的坐標為（3，m），點N的坐標為（n，n²+2n-3），
∵點A（-3，0），點C（5，0），
∴AC=8，
分情況討論：
①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．
當點N在點M的左側時，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N點的坐標為（-5，12），
當點N在點M的右側時，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N點的坐標為（11，140），
②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C與點A關于點B中心對稱”知：點M與點N關于點B中心對稱，取點F關于點B的對稱點P，則P點坐標為（-1，0）
過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，
將x=-1代入y=x²+2x-3，得y=-4，
過點N作直線NM交直線l于點M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，
∴坐標（-1，-4）的點N符合條件，
∴當N的坐標為（-5，12），（11，140），（-1，-4）時，以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式函數圖象交點的求法等知識點、平行四邊形的判定和性質等知識點，主要考查學生數形結合的數學思想方法．綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．