Question

如圖，已知P是正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉中心，將△ABP沿順時針方向旋轉，使點A與點C重合，這時P點旋轉到G點，連接BG、CG、PG。

（1）△ABP以點B為旋轉中心旋轉了            度；
（2）求出PG的長度；(3)以點G為圓心，r為半徑作⊙G：
①當半徑r滿足                           時，⊙G與邊PC只有一個交點;
②當半徑r滿足                           時，⊙G與邊PC有兩個交點;
③當半徑r滿足       時，⊙G與邊PC沒有交點。

Answer 1

（1）90；（2）；（3），＜r＜1；r＞.

試題分析：（1）根據題意知∠ABC=90°，將△ABP沿順時針方向旋轉，使點A與點C重合時，旋轉角為∠ABC=90°；
（2）連接PG，證明△BPG為等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）由旋轉的性質可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判斷△PGC為直角三角形．利用面積法求出點G到PC的距離，即可解答.
試題解析：（1）旋轉后的△BCG如圖所示，旋轉角為∠ABC=90°；

（2）連接PG，由旋轉的性質可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG為等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG= ；
（3）（3）由旋轉的性質可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=，
∵PG²+CG²=（）²+1²=9，PC²=9，
∴PG²+CG²=PC²，
∴△PGC為直角三角形．
過G作GE⊥PC，垂足為E

∵
∴.
∴當時，⊙G與邊PC只有一個交點;當＜r＜1時，⊙G與邊PC有兩個交點；當r＞時，⊙G與邊PC沒 有交點。
考點: 1.旋轉的性質；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理；4.正方形的性質.