Question

如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中點，AB=，AD=2，BC=3，下列結論：①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S_△ADC=2S_△ABE；④BO⊥CD，其中正確的是（     ）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

D

試題分析：根據梯形的性質和直角三角形中的邊角關系，逐個進行驗證，即可得出結論．
解：在直角三角形ABC中，∵AB=，BC=3，
∴tan∠ACB=．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2．②是正確的
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．①是正確的
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四邊形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°．
∴BO⊥CD．④是正確的．
∵AD∥BC，AD=2BE．
∴S_△ADC=2S_△ABE，③是正確的．
∴①②③④都是正確的，故選D．
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.