Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°．

（1）求證：DP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）證明：連接OD，

∵∠ACD=60°，
∴由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°。
∴∠DOP=180°﹣120°=60°。
∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°。
∴OD⊥DP。
∵OD為半徑，∴DP是⊙O切線。
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm。
∴圖中陰影部分的面積。

（1）連接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根據切線判定推出即可。
（2）求出OP、DP長，分別求出扇形DOB和△ODP面積，即可求出答案。