Question

如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C．
（1）當AB=4，DC=1，BC=4時，在線段BC上是否點P，使AP⊥PD？如果存在求線段BP的長；如果不存在，請說明理由；
（2）設AB=a，DC=b，AD=c，那么當a、b、c之間滿足什么關系時，在直線BC上存在點P，使AP⊥PD．

Answer 1

分析：（1）△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的長；
（2）過D作DE⊥AB于E，根據勾股定理用a、b、c表示出BC的長，再根據（1）的結論得出關于x的方程，利用一元二次方程跟的判別式即可求解．

解答：解：（1）存在．
如圖所示，AP⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCP=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
設BP=x，則CP=4-x，
∴

AB

PC

=

BP

CD

，即4：（4-x）=x：1，
即x（4-x）=4，
∴x²-4x+4=0，
即（x-2）²=0，
得出x=2，即BP=2；

（2）過D作DE⊥AB于E，
易得DC=BE=b，AE=a-b，BC=DE=

AD2-(AB-CD)2

=

c2-(a-b)2

，
由（1）得△ABP∽△PCD，設PC=x，
則

x

a

=

b

c2-(a-b)2 - x

，
化簡得方程：x⁴-（c²-a²-b²）x²+a²b²=0，
若存在點P，則方程有實數根，
∴△=（c²-a²-b²）²-4a²b²=（c²-a²-b²+2ab）（c2-a²-b²-2ab）=[（c²-（a-b）²][c²-（a+b）²]≥0，
∵c＞a-b，
∴c²-（a+b）²≥0，
∴c≥a+b，
∴當c≥a+b時，在直線BC上存在點P，使AP⊥PD．

點評：本題可以假設存在，根據相似三角形的性質得出比例式，找出P點．