Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖①）或線段AB的延長線（如圖②）于點P.

（1）當點P在線段AB上時，求證：△AQP∽△ABC；

（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當△PQB為等腰三角形時，AP的長為或6.

【解析】試題分析：（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；

（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．

（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關系計算AP的長；

（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．

試題解析：（1）∵PQ⊥AQ，

∴∠AQP=90°=∠ABC，

在△APQ與△ABC中，

∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC．

（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，

（I）當點P在線段AB上時，如圖1所示．

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴，即，解得：PB=，

∴AP=AB-PB=3-=；

（II）當點P在線段AB的延長線上時，如圖2所示．

∵∠QBP為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=BQ．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點B為線段AP中點，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為或6．