Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，點P為線段BC上一動點，當點P運動到某一位置時，它到點A，B的距離都等于a，到點P的距離等于a的所有點組成的圖形為W，點D為線段BC延長線上一點，且點D到點A的距離也等于a．

（1）求直線DA與圖形W的公共點的個數；

（2）過點A作AE⊥BD交圖形W于點E，EP的延長線交AB于點F，當a＝2時，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）1個；（2）

【解析】

（1）連接AP，根據圓周角定理得到∠APD＝45°，求得DA＝AP＝a，得到∠D＝∠APD＝45°，推出D A⊥PA，于是得到結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到∠BAP＝∠B＝22.5°，求得∠PAC＝∠PCA＝67.5°，推出點C在⊙P上，根據垂徑定理得到AC＝CE，求得∠APE＝90°，于是得到結論．

解：（1）直線DA與圖形W的公共點的個數為1個；

∵點P到點A，B的距離都等于a，

∴點P為AB的中垂線與BC的交點，

∵到點P的距離等于a的所有點組成圖形W，

∴圖形W是以點P為圓心，a為半徑的圓，

根據題意補全圖形如圖所示，

連接AP，

∵∠B＝22.5°，

∴∠APD＝45°，

∵點D到點A的距離也等于a，

∴DA＝AP＝a，

∴∠D＝∠APD＝45°，

∴∠PAD＝90°，

∴DA⊥PA，

∴DA為⊙P的切線，

∴直線DA與圖形W的公共點的個數為1個；

（2）∵AP＝BP，

∴∠BAP＝∠B＝22.5°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝67.5°，

∴PA＝PC＝a，

∴點C在⊙P上，

∵AE⊥BD交圖形W于點E，

∴

∴AC＝CE，

∴∠DPE＝∠APD＝45°，

∴∠APE＝90°，

∵EP＝AP＝a＝2，

∴AE＝，∠E＝45°，

∵∠B＝22.5°，AE⊥BD，

∴∠BAE＝67.5°，

∴∠AFE＝∠BAE＝67.5°．

∴EF＝AE＝．