Question

【題目】（1）如圖1，D是等邊三角形ABC邊BA上一動點（點D）與點B不重合，連接CD，以CD為邊在BC上方作等邊三角形DCE，連接AE，你能發現AE與BD之間的數量關系嗎？并證明你發現的結論．

（2）如圖二，當動點D在等邊三角形ABC邊BA上運動時（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在其上方、下方分別作等邊三角形DCE和等邊三角形DCF，連接AE，BF，探究AE，BF與AB有何數量關系？并證明你探究的結論．

（3）如圖三，當動點D在等邊三角形ABC邊BA的延長線上運動時，其他作法與圖2相同，若AE＝8，BF＝2，請直接寫出AB＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析。（2）見解析。（3）6.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，可得∠ACE＝∠BCD，根據“SAS”可證△BCD≌△ACE，即AE＝BE；

（2）由等邊三角形的性質可得AC＝BC，DC＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，可得∠FCB＝∠DCA，根據“SAS”可證△ACD≌△BCF，即BF＝AD，即可得AB＝AE＝BF；

（3）根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質可得AE＝BD，BF＝AD，即可求AB的長．

（1）AE＝BD

理由如下：∵△ABC和△DCE是等邊三角形

∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACE＝∠BCD，且AC＝BC，DC＝CE

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴AE＝BD

（2）AB＝AE+BF，

理由如下：∵△ABC和△DCF是等邊三角形，

∴AC＝BC，CF＝CD，∠FCD＝∠BCA＝60°，

∴∠FCB＝∠DCA，且AC＝BC，CF＝CD，

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴BF＝AD，

由（1）可知，BD＝AE，

∵AB＝BD+AD，

∴AB＝AE+BF

（3）∵△ABC和△DCE是等邊三角形，

∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，DC＝CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴AE＝BD＝8，

∵△ABC和△DCF是等邊三角形，

∴AC＝BC，CF＝CD，∠FCD＝∠BCA＝60°，

∴∠FCB＝∠DCA，且AC＝BC，CF＝CD，

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴BF＝AD＝2，

∵AB＝BD﹣AD

∴AB＝8﹣2＝6

故答案為：6