Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M在線段OD上，聯結AM并延長交邊DC于點E，點N在線段OC上，且ON＝OM，聯結DN與線段AE交于點H，聯結EN、MN．

（1）如果EN∥BD，求證：四邊形DMNE是菱形；

（2）如果EN⊥DC，求證：AN2＝NCAC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據正方形性質及ON＝OM，求出MN∥CD，進而得出四邊形DMNE是平行四邊形，在證明出△AOM≌△DON即可得到平行四邊形DMNE是菱形；

（2）根據MN∥CD得到，再由EN⊥DC得到EN∥AD，，再由AB∥DC，得到，即可得到，即為所求．

證明：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，

∵ON＝OM，

∴ ，

∴MN∥CD，

又∵EN∥BD，

∴四邊形DMNE是平行四邊形，

在△AOM和△DON中，

∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，

∴△AOM≌△DON（SAS），

∴∠OMA＝∠OND，

∵∠OAM+∠OMA＝90°，

∴∠OAM+∠OND＝90°

∴∠AHN＝90°．

∴DN⊥ME，

∴平行四邊形DMNE是菱形；

（2）如圖2，

∵MN∥CD，

∴，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，

∴AD⊥DC，

又∵EN⊥DC，

∴EN∥AD，

∴，

∵AB∥DC，

∴，

∴，

∴AN2＝NCAC．