Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求BC邊的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可；
（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB=BP時(shí)；②當(dāng)AB=AP時(shí)；③當(dāng)BP=AP時(shí)，分別求出BP的長(zhǎng)度，繼而可求得t值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，BC²=AB²-AC²=5²-3²=16，
∴BC=4（cm）；

（2）由題意知BP=tcm，
①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=4cm，即t=4；
②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，
AP²=3²+（t-4）²，
在Rt△BAP中，AB²+AP²=BP²，
即：5²+[3²+（t-4）²]=t²，
解得：t=

25

4

，
故當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t=4或t=

25

4

；

（3）①當(dāng)AB=BP時(shí)，t=5；
②當(dāng)AB=AP時(shí)，BP=2BC=8cm，t=8；
③當(dāng)BP=AP時(shí)，AP=BP=tcm，CP=|t-4|cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP²=AC²+CP²，
所以t²=3²+（t-4）²，
解得：t=

25

8

，
綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t=5或t=8或t=

25

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．