Question

已知一元二次方程x²－4x＋k＝0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x²－4x＋k＝0與x²＋mx－1＝0有一個相同的根，求此時m的值．

Answer 1

（1）；（2）0或

試題分析：（1）根據方程有兩個不相等的實數根可得根的判別式△，即可得到關于k的不等式，解出即可；
（2）先找出符合條件的最大整數k，即可求得一元二次方程x²－4x＋k＝0的解，再根據兩個方程有一個相同的根，即可求得結果.
（1）∵方程有兩個不相等的實數根，∴b²－4ac＝16－4k>0，∴；
（2）當k取最大整數時，即k＝3，這時方程為x²－4x＋3＝0，∴x₁＝1，x₂＝3.
當相同根為x＝1時，有1＋m－1＝0，m＝0，
當相同根為x＝3時，有9＋3m－1＝0，
∴m的值是0或
點評：解題的關鍵是熟記一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）方程有兩個不相等的實數根；（2）方程有兩個相等的實數根；（3）方程沒有實數根．