Question

【題目】菱形中，為邊上的點，相交于點．

（1）如圖1，若，，求證：；

（2）如圖2，若．求證：；

（3）如圖3，在（1）的條件下，平移線段到，使為的中點，連接交于點，若，請直接寫出的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1＋．

【解析】

（1）由菱形ABCD中和∠A＝90°可得菱形ABCD是正方形，根據正方形性質得AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°，再加上DE＝CF即證得Rt△ADE≌Rt△DCF，所以∠ADE＝∠DCF，等量代換計算即得到∠CGD＝90°，得證．
（2）由菱形性質可得AD＝CD，∠B＝∠ADC，∠B＋∠BAD＝180°，再由∠EGC＋∠B＝180°可得∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC，證明△ADE∽△GDF和△DCG∽△FCD，再由對應邊成比例等量代換計算得DE＝CF．
（3）由（1）的條件可得MN＝CF，MN⊥CF，加上G為CF的中點，即MN垂直平分CF，連接FM即有FM＝MC且∠DMF＝∠MFC＋∠FCD＝30°，設DF＝x，則根據30°直角三角形的性質，可用x表示FM、DM．過點N作CD的垂線段NP，則CP＝BN＝，且易證Rt△NPM≌Rt△CDF，所以MP＝DF＝x，進而能用x表示CM、CD．利用MF＝MC列出關于x的方程，求解即得到CM、CD、DF的長．證明△CGM∽△CDF，根據對應邊成比例計算即求得FG＝CG的長．

解：（1）證明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°
∴菱形ABCD是正方形
∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°
在Rt△ADE與Rt△DCF中
DE＝CF，AD＝DC，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL）
∴∠ADE＝∠DCF
∴∠DCF＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°
∴∠CGD＝90°
∴DE⊥CF
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC
∴∠A＋∠B＝180°
∵∠EGC＋∠B＝180°，∠EGC＋∠CGD＝180°
∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC
∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF
∴△ADE∽△GDF
∴，
∴

∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD
∴△DCG∽△FCD
∴，
∴，
∵AD＝DC，
∴DE＝CF；
（3）如圖，過點N作NP⊥CD于點P，連接FM，

∴∠CPN＝∠MPN＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD
∴四邊形BCPN是矩形
∴NP＝BC＝CD，PC＝BN＝，

在Rt△NPM與Rt△CDF中
MN＝CF，NP＝CD，
∴Rt△NPM≌Rt△CDF（HL）
∴PM＝DF
設PM＝DF＝x，則CM＝PC＋PM＝＋x，
∵由（1）得MN⊥CF，G為CF中點
∴MN垂直平分CF
∴MF＝MC
∴∠MFC＝∠FCD＝15°
∴∠DMF＝∠MFC＋∠FCD＝30°
∴Rt△DMF中，MF＝2DF＝2x，DM＝，

由于MF＝MC，即2x＝＋x
∴x＝
∴DF＝，DM=，CM＝MF=2，CD＝CM＋DM＝2+
∵∠GCM＝∠MCF，∠CGM＝∠CDF＝90°
∴△CGM∽△CDF
∴，
∴2CG2＝CDCM＝（2+）2＝8＋4，
∴CG2＝4＋2＝12＋2+()2=（1＋）2，
∴FG＝CG＝1＋．