Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)（點(diǎn)P、Q不與點(diǎn)D重合），點(diǎn)P沿D→A以1cm/s的速度向中點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿D→B→D以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．回到點(diǎn)D停止．以PQ為邊在AB上方作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分的面積為S（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)點(diǎn)N在邊AC上時(shí)，求t的值．

（2）用含t的代數(shù)式表示PQ的長．

（3）當(dāng)點(diǎn)Q沿D→B運(yùn)動(dòng)，正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是五邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）直接寫出正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是軸對稱圖形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）3t或4-t;（3）＜t≤時(shí),S=﹣t2+10t﹣2； ≤t＜1時(shí)， S=﹣t2+6t；（4）0＜t≤或t= ．

【解析】試題分析：（1）由已知得出AD=BD=AB=2，由正方形的性質(zhì)得出PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°，求出∠ANP=∠A=45°，得出AP=PN，即可得出答案；

（2）分兩種情況：①當(dāng)0<t≤1時(shí)，PQ=3t；②當(dāng)1<t<2時(shí)，BQ=2t-2，求出DQ=4-2t，得出PQ=PD+DQ=4-t；

（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，QF=BQ=2-2t，ME=MF=5t-2，由正方形分面積減去等腰直角三角形的面積，即可得出答案；

②當(dāng)≤t<1時(shí)，PG=AP=2-t，HQ=BQ=2-2t，由勾股定理得出AC=BC= ，由大等腰直角三角形的面積減去兩個(gè)小等腰直角三角形的面積，即可得出答案；

（4）分兩種情況：①0<t≤；②AP=BQ，BQ=2t-2，AP=2-t，解方程求出即可．

解：（1）如圖①所示：

∵AB=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD=AB=2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠ANP=∠A=45°，

∴AP=PN，

∴2﹣t=3t，

∴t=；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，PQ=3t；

②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，BQ=2t﹣2，

∴DQ=2﹣（2t﹣2）=4﹣2t，

∴PQ=PD+DQ=4﹣t；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖②所示：

QF=BQ=2﹣2t，ME=MF=3t﹣（2﹣2t）=5t﹣2，

∴S=（3t）2﹣（5t﹣2）2=﹣t2+10t﹣2；

②當(dāng)≤t＜1時(shí)，如圖③所示：

PG=AP=2﹣t，HQ=BQ=2﹣2t，

∵AC=BC=AB=2，

∴S=×（2）2﹣×（2﹣t）2﹣×（2﹣2t）2=﹣t2+6t；

（4）分兩種情況：

①如圖④所示：此時(shí)0＜t≤；

②如圖⑤所示：

此時(shí)AP=BQ，BQ=2t﹣2，AP=2﹣t，

∴2﹣t=2t﹣2，

解得：t=；

綜上所述：正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是軸對稱圖形時(shí)t的取值范圍為0＜t≤或t=．