Question

【題目】已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2（a＞0）相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸正半軸相交于點C，過點A作AD⊥x軸，垂足為D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x軸，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，點A的橫坐標為﹣4，AC=4BC，求點B的坐標；
（3）延長AD、BO相交于點E，求證：DE=CO．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，且AB∥x軸，
∴A與B是對稱點，O是拋物線的頂點，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC= ，
∴A（-1， ），
把A（-1， ）代入拋物線y=ax2（a＞0）中得：a= ；
（2）解：如圖2，過B作BE⊥x軸于E，過A作AG⊥BE，交BE延長線于點G，交y軸于F，

∵CF∥BG，
∴ ，
∵AC=4BC，
∴ =4，
∴AF=4FG，
∵A的橫坐標為-4，
∴B的橫坐標為1，
∴A（-4，16a），B（1，a），
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴ ，
∴ ，
∴16a2=4，
a=± ，
∵a＞0，
∴a= ；
∴B（1， ）；
（3）解：如圖3，

設AC=nBC，
由（2）同理可知：A的橫坐標是B的橫坐標的n倍，
則設B（m，am2），則A（-mn，am2n2），
∴AD=am2n2 ，
過B作BF⊥x軸于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，DE=am2n，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴ ，
∴ ，
∴CO= =am2n，
∴DE=CO．
【解析】（1）拋物線y=ax2關于y軸對稱，根據AB∥x軸，得出A與B是對稱點，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可證得△AOB是等邊三角形，利用解直角三角形求出OC的長，就可得出點A的坐標，利用待定系數法就可求出a的值。
（2）過B作BE⊥x軸于E，過A作AG⊥BE，交BE延長線于點G，交y軸于F，根據平行線分線段成比例證出AF=4FG，根據點A的橫坐標為﹣4，求出點B的橫坐標為1，則A（-4，16a），B（1，a），再根據已知證明∠BOE=∠DAO，∠ADO=∠OEB，就可證明△ADO∽△OEB，得出對應邊成比例，建立關于a的方程求解，再根據點B在第一象限，確定點B的坐標即可。
（3）根據（2）可知A的橫坐標是B的橫坐標的n倍，則設B（m，am2），則A（-mn，am2n2），得出AD的長，再證明△BOF∽△EOD，△BCO∽△BAE，得對應邊成比例，證得CO=am2n，就可證得DE=CO。