Question

如圖，已知拋物線y = ax² + bx－4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為．

（1）求m的值及拋物線的解析式；

（2）點P是線段上的一個動點，過點P作PN∥，交于點，連接CP，當的面積最大時，求點P的坐標；

（3）點在（1）中拋物線上，點為拋物線上一動點，在軸上是否存在點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：(1)過M作MK⊥y軸，連接MC，

由勾股定理得CK=3，∴OK=1，

 ∴m=-1

過M作MQ⊥  y軸，連接MB，

由勾股定理得BQ=3，∴B(4，0)

又M在拋物線的對稱軸上，∴A(-2，0)

∴  解得： 

∴拋物線的解析式為：   

（2）設點P的坐標為（，0），過點作軸于點（如圖）。

∵點的坐標為（，0），點的坐標為（4，0），

∴AB=6，AP=m+2

∵BC∥PN，∴△APN∽△ABC

∴，∴，∴ 

∴

∴當m=1時，有最大值3。此時，點P的坐標為（1，0）

（3）、 、、 

【解析】(1)過M作MK⊥y軸，連接MC，利用勾股定理即可求得m的值，過M作MQ⊥y軸，連接MB，利用勾股定理即可求得點A、點B的坐標，根據待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）過點作軸于點，先證得△APN∽△ABC，根據對應邊成比例即可表示出NH，從而得到面積的函數關系式，根據函數關系式的特征即可求得當的面積最大時，點P的坐標；

（3）根據平行四邊形的特征分類討論。