Question

【題目】如圖，已知O是直線AB上一點，∠BOC＜90°，三角板（MON）的直角頂點落在點O處現將三角板繞著點O旋轉，并保持OM和OC在直線AB的同一側．

（1）若∠BOC＝50°

①當OM平分∠BOC時，求∠AON的度數．

②當OM在∠BOC內部，且∠AON＝3∠COM時，求∠CON的度數：

（2）當∠COM＝2∠AON時，請畫出示意圖，猜想∠AOM與∠BOC的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①65°；②70°；（2）圖詳見解析，3∠AOM+∠BOC＝360°或∠AOM＝∠BOC．

【解析】

（1）①根據平角的定義得到∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，根據角平分線的定義得到∠COM＝∠BOC＝25°，于是得到結論；

②如圖1，設∠COM＝α，則∠AON＝3α，求得∠BOM＝50°﹣α，列方程即可得到結論；

（2）①如圖2，設∠AON＝α，則∠COM＝2α，②如圖3，設∠AON＝α，則∠COM＝2α，③如圖4，設∠AON＝α，則∠COM＝2α，根據角的和差即可得到結論．

解：（1）①∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM＝∠BOC ＝25°，

∵∠MON＝90°，

∴∠CON＝90°﹣25°＝65°，

∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝65°；

②如圖1，∵∠AON＝3∠COM，

∴設∠COM＝α，則∠AON＝3α，

∴∠BOM＝50°﹣α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AON+∠BOM＝90°，

∴3α+50°﹣α＝90°，

∴α＝20°，

∴∠CON＝90°﹣α＝70°；

（2）①如圖2，∵∠COM＝2∠AON，

∴設∠AON＝α，則∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠BOM＝90°﹣∠AON＝90°﹣α，

∴∠BOC＝∠BOM+∠COM＝90°﹣α+2α＝90°+α，

∵∠BOC＜90°，

∴這種情況不存在；

②如圖3，∵∠COM＝2∠AON，

∴設∠AON＝α，則∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°+α，∠BOC＝90°﹣3α，

∴3∠AOM+∠BOC＝360°；

③如圖4，∵∠COM＝2∠AON，

∴設∠AON＝α，則∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣α，∠BOC＝180°﹣∠AOM﹣∠COM＝90°﹣α，

∴∠AOM＝∠BOC．