Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸交于點B（1，0），C（5，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；
（3）設(shè)M為OA中點，x軸上有一點E，在拋物線對稱軸上有一點F．若S=ME+EF+FA，則求當(dāng)S最小時，E、F兩點的坐標(biāo)，及此時S的值．

Answer 1

分析：（1）將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）已知A（0，3），那么OA的三等分點應(yīng)該是（0，1）或（0，2），而C點坐標(biāo)已知，分兩種情況，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）若ME+EF+FA的值最小，可取A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點A′，M關(guān)于x軸的對稱點M′，若連接A′M′，那么與x軸、拋物線對稱軸的交點必為所求的E、F點，可先求出直線A′M′的解析式，進而可求出E、F的坐標(biāo)，而A′、M′的坐標(biāo)已求得，即可得到A′M′，即此時S的最小值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-5）（x-1），
則有：3=a（0-5）（0-1），
a=

3

5

；
∴拋物線的解析式為：y=

3

5

（x-5）（x-1）=

3

5

x²-

18

5

x+3．

（2）依題意可得OA的三等分點分別為（0，1），（0，2）；
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b；
當(dāng)點D的坐標(biāo)為（0，1）時，直線CD的解析式為y=-

1

5

x+1；
當(dāng)點D的坐標(biāo)為（0，2）時，直線CD的解析式為y=-

2

5

x+2．

（3）如圖，由題意，可得M（0，

3

2

）；
點M關(guān)于x軸的對稱點為M′（0，-

3

2

），
點A關(guān)于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A′（6，3）；
連接A′M′；
根據(jù)軸對稱性及兩點間線段最短可知，A′M′的長就是所求的S最小值；
所以A′M′與x軸的交點為所求E點，與直線x=3的交點為所求F點；
可求得直線A′M′的解析式為y=

3

4

x-

3

2

；
可得E點坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點坐標(biāo)為（3，

3

4

）；
由勾股定理可求出A′M′=

15

2

；
所以此時S的值最小，且S=ME+EF+FA=

15

2

．

點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、兩點間線段最短等知識點的綜合應(yīng)用，（3）題中，根據(jù)軸對稱和兩點間線段最短等相關(guān)知識確定出E、F點的位置，是解決問題的關(guān)鍵．