Question

（2012•松北區三模）已知：如圖Rt△ABC中，∠C=90°，CD是∠ACB的平分線，點M在線段AC上，點N在線段CD上．∠MND=∠ADN，NE∥BC，交BD于點E．
（1）（如圖1）當點M和點A重合時，求證：AN=BE；
（2）（如圖2）當MN：AD=2：3時，MC=NE，AM=2，延長MN交BC于點F，將線段BF以F為中心順時針旋轉，點B落在點P處，求出P點到BC的距離．

Answer 1

分析：（1）圖1，作NH∥AB交BC于點H，由條件就可以得出四邊形BHNE是平行四邊形，再證明△ACN≌△HCN就可以得出結論；
（2）圖2，作NH∥AB交BC于H，作MG∥AB交CD于G，作PQ⊥BC于Q，連接PM．可以得出四邊形BHNE是平行四邊形，就有HN=BE，再根據平行線的性質可以得出△CMG∽△CAD，由其性質可以得出CM的值，根據△MCN≌△END就有CN=DN，由中位線的性質可以得出BC的值，進一步證明△ABC∽△FMC就可以得出CF的值從而求出NF=PF，進而得出AP=AM，最后由平行線的性質就可以得出結論．

解答：解：（1）作NH∥AB交BC于點H，
∵NE∥BC，
∴四邊形BHNE是平行四邊形，
∴BE=NH．
∵NH∥AB，
∴∠DNH=∠ADN．
∵∠MND=∠ADN，
∴∠DNH=∠ADN．
∵∠DNH+∠HNC=180°，
∠ADN+∠ANC=180°，
∴∠HNC=∠ANC．
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠HCN=∠ACN．
在△HNC和△ANC中，

∠HCN=∠ACN CN=CN ∠HNC=∠ANC

，
∴△HNC≌△ANC（ASA），
∴HN=AN，
∴AN=BE；

（2）作NH∥AB交BC于H，作MG∥AB交CD于G，作PQ⊥BC于Q，連接PM．
∵EN∥BC，NH∥AB，
∴四邊形BHNE是平行四邊形，
∴HN=BE，
∵MG∥AB，
∴△CMG∽△CAD，∠MGN=∠ADN，
∴

MG

AD

=

CM

AC

．
∵∠MND=∠ADN，
∴∠MGN=∠MNG，
∴GM=NM．
∵MN：AD=2：3，
∴GM：AD=2：3．
∵AM=2，
∴AC=2+CM，
∴

2

3

=

CM

2+CM

，
∴CM=4．
∴AC=6．
∵EN∥BC，
∴∠END=∠BCD，∠DEN=∠B
∵∠MND=∠ADN，
∴∠MNC=∠EDN．
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠BCD．
∴∠ACD=∠END．
在△MCN和△END中，

∠ACD=∠END ∠MNC=∠EDN MC=EN

，
∴△MCN≌△END（AAS）
∴CN=ND，∠CMN=∠NED．
∴N是CD的中點，∠CMN=∠B
∴BC=2EN．
∵MC=EN=4，
∴BC=8．
在△ABC和△FMC中，

∠CMN=∠B ∠ACB=∠ACB

，
∴△ABC∽△FMC，
∴

AC

BC

=

FC

MC

，
∴

6

8

=

FC

4

，
∴FC=3．
∴BF=PF=5．
∴∠B=∠BPF，
∴∠BPF=∠FMC．
在Rt△MFC和Rt△ABC中，由勾股定理，得
MF=5．AB=10，
∴PF=MF，
∴∠FPM=∠FMP．
∴∠APM=∠AMP，
∴AP=AM=2．
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠PQB=∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴

PQ

AC

=

PB

AB

，
∴

PQ

6

=

8

10

，
∴PQ=4.8．
答：P點到BC的距離為4.8．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質的運用，相似三角形的判定與性質的運用，勾股定理的運用，平行四邊形的判定與性質的運用及三角形中位線的性質的運用，解答時正確作出輔助線是關鍵．