Question

直線AB：y=-x-b分別與x、y軸交于A （6，0）、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸于C，且OB：OC=3：1；
（1）求直線BC的解析式；
（2）直線EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于點F，交x軸于D，是否存在這樣的直線EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（3）如圖，P為A點右側x軸上的一動點，以P為直角頂點、BP為腰在第一象限內作等腰直角三角形△BPQ，連接QA并延長交y軸于點K．當P點運動時，K點的位置是否發生變化？如果不變請求出它的坐標；如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析：代入點的坐標求出解析式y=3x+6，利用坐標相等求出k的值，用三角形全等的相等關系求出點的坐標．

解答：解：（1）由已知：0=-6-b，
∴b=-6，
∴AB：y=-x+6．
∴B（0，6）
∴OB=6
∵OB：OC=3：1，
OC=

OB

3

=2，
∴C（-2，0）
設BC的解析式是Y=ax+c，代入得；

6=0•a+c 0=-2a+c

，
解得：

a=3 c=6

，
∴BC：y=3x+6．
直線BC的解析式是：y=3x+6；

（2）過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME．
聯立

y=kx-k y=-x+6

得yE=

5k

k+1

，
聯立

y=kx-k y=3x+6

得yF=

9k

k-3

．
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴

5k

k+1

=

-9k

k-3

．
∵k≠0，
∴5（k-3）=-9（k+1），
∴k=

3

7

；

（3）不變化K（0，-6）．
過Q作QH⊥x軸于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
∴△BOP≌△HPQ，
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK為等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）．

點評：此題是一個綜合運用的題，關鍵是正確求解析式和靈活運用解析式去解．