Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結BE、CE．

（1）若a=5，sin∠ACB=，求b．

（2）若a=5，b=10當BE⊥AC時，求出此時AE的長．

（3）設AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，求a、b應滿足什么條件，并求出此時x的值．

Answer 1

【答案】（1）b=12；（2）；（3）當a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時（或x=a）；當a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時．

【解析】

試題分析：（1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到結果；

（2）由BE⊥A，得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代換得到∠1=∠2，推出△AEB∽△BAC，得到比例式，即可得到結論；

（3）點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°當△BAE∽△CEB（如圖2），∠1=∠BCE，又BC∥AD，由平行線的性質得到∠2=∠BCE，推出△BAE∽△EDC，得到比例式，進而可得得到一元二次方程x2﹣bx+a2=0，根據方程根的情況，得到結論．

解：（1）

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵AB=a=5，sin∠ACB=，

∴，

∴AC=13，

∴BC==12，

∴b=12；

（2）如圖1，

∵BE⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

又∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

又∠BAE=∠ABC=90°，

∴△AEB∽△BAC，

∴，

即，

∴；

（3）∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，

∴當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°

所以當△BAE∽△CEB（如圖2）

則∠1=∠BCE，

又BC∥AD，

∴∠2=∠BCE，

∴∠1=∠2，

又∠BAE=∠EDC=90°，

∴△BAE∽△EDC，

∴，

即，

∴x2﹣bx+a2=0，

即，

當b2﹣4a2≥0，

∵a＞0，b＞0，

∴b≥2a，

即b≥2a時，，

綜上所述：當a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時（或x=a）；

當a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時．