Question

【題目】如圖 1，AB∥CD，點 E 在 AB 上，點 M 在 CD 上，點 F 在直線 AB，CD 之間，連接 EF、FM， EF⊥FM，∠CMF=140°.

圖 1 圖 2 圖 3

（1）直接寫出∠AEF 的度數為 ________；

（2）如圖 2，延長 FM 到 G，點 H 在 FG 的下方，連接 GH，CH，若∠FGH=∠H+90°， 求∠MCH 的度數；

（3）如圖 3，作直線 AC，延長 EF 交 CD 于點 Q，P 為直線 AC 上一動點，探究∠PEQ，∠PQC 和∠EPQ 的數量關系，請直接給出結論.（題中所有角都是大于 0°小于 180°的角）

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）50°；（3）當P點在CD的下方時，∠PEQ+∠EPQ+∠PQC=130°．當P點在CD的上方時，∠PEQ+∠EPQ+∠PQC=230°．

【解析】

（1）延長FP交AB于點Q，根據三角形的外角性質和平行線性質證明即可；

（2）延長HG交CD于點Q，根據三角形的外角性質和平行線性質證明即可；

（3）過P點作PN∥AB，根據平行線性質證明即可．

（1）延長MF交AB于點N，如圖1，

∵AB∥CD，

∴∠CMF+∠ENF=180°，

∴∠ANF=180°-140°=40°，

∵EF⊥FM，

∴∠EFN=90°，

∴∠AEF=∠ANF+∠EFN=40°+90°=130°；

故答案為：130°．

（2）延長HG交CD于點Q，如圖2，

∵∠CMF=140°．

∴∠FMD=180°-140°=40°，

∴∠CMG=40°，

∵∠MQH=∠H+∠HCM，∠FGH=∠H+90°，

∴∠FGH=∠MQH+∠CMG=∠H+∠HCM+∠CMG，

∴∠HCM+∠CMG=90°，

∴∠MCH=90°-40°=50°；

（3）過P點作PN∥AB，如圖3，

由（1）可知，∠AEF=130°，

∴∠AEP+∠PEQ=130°，

∵AB∥CD，

∴AB∥PN∥CD，

∴∠AEP=∠EPN，∠NPQ=∠PQC，

∴∠EPN=∠EPQ-∠NPQ=∠EPQ-∠PQC，

∴∠PEQ+∠EPQ-∠PQC=130°．

當P點在CD的下方時，∠PEQ+∠EPQ+∠PQC=130°．

當P點在CD的上方時，∠PEQ+∠EPQ+∠PQC=230°．