Question

已知：如圖，點D的坐標為（0，6），過原點O和點D點的圓交x軸的正半軸于A點，圓周角∠OCA=30°．
求（1）A點的坐標；
（2）圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接AD，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠ADO的度數，然后在Rt△AOD中，利用∠ADO的正切，即可求得OA的長，繼而可得A點的坐標．
（2）從圖中明確S_陰=S_扇形OBA-S_△OBA，然后依公式計算即可．

解答：解：（1）連接AD．則∠ADO=∠OCA=30°，
∵點D的坐標為（0，6），
∴OD=6，
在Rt△AOD中，OA=OD•tan∠ADO=6×

3

3

=2

3

，
∴A點的坐標為（2

3

，0）．

（2）∵∠AOD=90°，
∴AD是該圓的直徑，
過點O作AD邊上的中線OB，則OB=AB=BD，即點B為該圓的圓心，
∴∠AOB=2∠OPCA=60°，
∴△OBA是等邊三角形，
∴OB=AB=OA=2

3

．
∴S_扇形OBA=

60π×(2 3 )2

360

=2π，S_△OBA=

1

2

×2

3

×2

3

×

3

2

=3

3

，
∴S_陰=S_扇形OBA-S_△OBA=2π-3

3

．

點評：此題考查了圓周角定理與特殊角的三角函數．此題難度不大，解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用，注意掌握輔助線的作法．