Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm．長為2cm的線段MN在△ABC的斜邊AB上沿AB方向以每秒1cm的速度向點B移動（移動前點M與點A重合），過M、N分別作AB的垂線，交直角邊于P、Q兩點，設線段MN移動的時間為t（秒）：
（1）若△AMP的面積為y，請寫出y與t的函數關系式；
（2）線段MN移動過程中，四邊形MNQP能成為矩形嗎？若能，請求出相應的t值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況，點P可以在AC上時和當點P在BC上時，利用三角函數分別用含t的代數式表示出PM，AM，再利用S_△APM=

1

2

AM•PM得出y與t的函數關系式；
（2）當PM=QN時，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值即可．

解答：解：（1）分兩種情況考慮：
（i）當點P在AC上時，
∵AM=t，
∴PM=AM•tan60°=

3

t，
∴y=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²（0≤t≤2），
（ii）當點P在BC上時，
∵PM=BM•tan30°=

3

3

（8-t），
∴y=

1

2

t•

3

3

（8-t）=-

3

6

t²+

4 3

3

t（2≤t≤6）；

（2）線段MN移動過程中，四邊形MNQP能為矩形；理由為：
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=8cm，
∴BN=AB-AM-MN=8-t-2=6-t，
∴QN=BN•tan30°=

3

3

（6-t），
由條件知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，即

3

t=

3

3

（6-t），
解得：t=

3

2

．
則當t=

3

2

s時，四邊形MNQP為矩形．

點評：本題考查了相似形綜合題．利用了銳角三角函數的概念，相似三角形的判定和性質，矩形的性質，三角形的面積公式求解，運用了數形結合的思想來解決圖形變化的問題．