Question

【題目】如圖，在⊙O中，半徑OC＝6，D為半徑OC上異于O，C的點，過點D作AB⊥OC，交⊙O于A，B，點E在線段AB上，AE＝CE，點P在線段EC的延長線上，PB＝PE．

（1）若OD＝2，求弦AB的長；

（2）當點D在線段OC（不含端點）上移動時，直線PB與⊙O有怎樣的位置關系？請說明理由；

（3）點Q是⊙O上的一個動點，若點D為OC中點時，線段PQ的最小值為多少？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PB與⊙O相切；（3）．

【解析】

（1）連接OB，由OB=OC=6，OD=2，利用勾股定理可得BD的長，根據垂徑定理可得答案；

（2）連接OB，OA，OE，先證△AOE≌△COE得∠OAE=∠OCE，結合∠OBA=∠OAB知∠OCE=∠OBA，根據PB=PE知∠PBE=∠PEB，根據∠OCE+∠PEB=90°得∠OBA+∠PBE=90°，由切線的判定可得答案；

（3）先確定線段PQ的最小值時Q的位置：因為OQ為半徑，是定值4，則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，當P、Q、O三點共線時，PQ最小，先求AE的長，從而得PB的長，最后利用勾股定理求OP的長，與半徑的差就是PQ的最小值．

（1）如圖1，連接OB，

∵OB=OC=6，OD=2，

∴BD=，

則AB=2BD=8；

（2）如圖2，連接OB，OA，OE，

∵OB=OA=OC，

∴∠OBA=∠OAB，

又∵OE=OE，AE=CE，

∴△AOE≌△COE（SSS），

∴∠OAE=∠OCE，

∴∠OCE=∠OBA，

∵PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∵AB⊥CD，

∴∠OCE+∠PEB=90°，

∴∠OBA+∠PBE=90°，即∠PBO=90°，

∴OB⊥PB，

又OB是⊙O的半徑，

∴PB與⊙O相切；

（3）線段PQ的最小值為2-6，理由如下：

∵D為OC的中點，

∴OD=OC=OB，

在Rt△OBD中，∠OBD=30°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△BOC是等邊三角形，

∵Q為⊙O任意一點，

連接PQ、OQ，

因為OQ為半徑，是定值4，

則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，

當P、Q、O三點共線時，PQ最小，

∴Q為OP與⊙O的交點時，PQ最小，

∠A=∠COB=30°，

∴∠PEB=2∠A=60°，

∠ABP=90°-30°=60°，

∴△PBE是等邊三角形，

Rt△OBD中，BD==3

∴AB=2BD=6，

設AE=x，則CE=x，ED=3-x，

Rt△CDE中，x2=32+（3-x）2，

解得：x=2，

∴BE=PB=6-2=4，

Rt△OPB中，OP=，

∴PQ=2-6，

則線段PQ的最小值是2-6．