Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．

（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；

（2）如圖2，①求證：BP=BF；

②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；

③當BP=9時，求BEEF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②；③108.

【解析】（1）先判斷出∠A=∠D=90°，AB=DC再判斷出AE=DE，即可得出結論；

（2）①利用折疊的性質，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，進而判斷出∠GPF=∠PFB即可得出結論；

②判斷出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判斷出△ECF∽△GCP，進而求出PC，即可得出結論；

③判斷出△GEF∽△EAB，即可得出結論．

（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，

∵E是AD中點，

∴AE=DE，

在△ABE和△DCE中，，

∴△ABE≌△DCE（SAS）；

（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，

∵△BPC沿PC折疊得到△GPC，

∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，

∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF=∠PFB，

∴∠BPF=∠BFP，

∴BP=BF；

②當AD=25時，

∵∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠CED=∠ABE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

設AE=x，

∴DE=25﹣x，

∴，

∴x=9或x=16，

∵AE＜DE，

∴AE=9，DE=16，

∴CE=20，BE=15，

由折疊得，BP=PG，

∴BP=BF=PG，

∵BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP，

∴，

設BP=BF=PG=y，

∴，

∴y=，

∴BP=，

在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；

③如圖，連接FG，

∵∠GEF=∠BAE=90°，

∵BF∥PG，BF=PG，

∴BPGF是菱形，

∴BP∥GF，

∴∠GFE=∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴，

∴BEEF=ABGF=12×9=108．