Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知A（a，b），且a.b滿足，

（1）求A點的坐標及線段OA的長度；（2）點P為x軸正半軸上一點，且△AOP是等腰三角形，求P點的坐標；

（3）如圖2，若B（1，0），C（0，－3），試確定∠ACO+∠BCO的值是否發生變化，若不變，求其值；若變化，請求出變化范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(,0)或P(4,0)、P（，0）；（3）45.

【解析】

（1）先由二次根式有意義的條件得出a的值，再代入等式得出b的值，從而得出點A的坐標，繼而利用兩點間的距離公式可得OA的長；

（2）分OA=OP、AO=AP、PO=PA三種情況，利用等腰三角形的性質逐一求解可得；

（3）在x軸負半軸上取一點，使得OD=OB=1，知點B與點D關于y軸對稱，據此得∠BCO=∠DCO，根據兩點間的距離公式知AD2=10，CD2=10，AC2=20，依據勾股定理逆定理判斷出△ACD是等腰直角三角形，利用∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD可得答案．

解：

（1）∵，

∴a=2，

則b=1，

∴A（2，1），

則OA=＝；

（2）當OA=OP時，P（，0）；

當AO=AP時，如圖1，作AH⊥x軸于點H，

則OH=PH=2，

∴OP=4，

∴P（4，0）；

當P′O=P′A時，設P′O=P′A=x，則P′H=2-x，

由AP′2=P′H2+AH2得（2-x）2+12=x2，

解得：x=，

∴P（，0）．

（3）如圖2，在x軸負半軸上取一點，使得OD=OB=1，

則點B與點D關于y軸對稱，

∴∠BCO=∠DCO，

∵A（2，1），D（-1，0），C（0，-3），

∴AD2=32+12=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，

∴AD2+CD2=AC2，且AD=CD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

則∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD=45°．