Question

如圖已知二次函數圖象的頂點為原點，直線的圖象與該二次函數的圖象交于A點(8，8)，直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．

（1）求這個二次函數的解析式與B點坐標；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于D點，與x軸交于點E．設線段PD的長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、D、B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），（0，4）；（2）（0＜t＜8）；
（3）（，）或（2，5）．

試題分析：（1）先設二次函數的解析式為，把A點（8，8）代入即可求出這個二次函數的解析式，根據直線y軸的交點橫坐標為0即可求出B點坐標；
（2）設P點在上且橫坐標為t，得出P點的坐標為（t，），根據PD⊥x軸于E，用t表示出D和E的坐標，再根據PD=h，求出，最后根據P與AB不重合且在AB上，得出t的取值范圍；
（3）先過點B作BF⊥PD于F，得出，BF=t，再根據勾股定理得出PB和BC的值，再假設△PBO∽△BOC，得出，即可求出t₁和t₂的值，從而求出P點的坐標.
（1）設二次函數的解析式為，
∵A點（8，8）在二次函數上，
∴，解得
∴
∵直線與y軸的交點為B，
∴B點坐標為（0，4）．
（2）P點在上且橫坐標為t，
∴P（t，），
∵PD⊥x軸于E，
∴D（t，），E（t，0），
∵PD=h，
∴
∵P與AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
當BD⊥PE時，△PBD∽△BCO，
∵
∴
∴
∴
解得，（舍去）
∴P點的縱坐標是
此時P點的坐標是（，）
當DB⊥PC時，
△PBD∽△BCO，
過點B作BF⊥PD，

則F（t，4），
∴，BF=t，
根據勾股定理得

假設△PBO∽△BOC，
則有

解得，（舍去）
∴
此時P點的坐標是（2，5）．
點評：在解題時要能靈運用二次函數的圖象和性質求出二次函數的解析式，利用數形結合思想解題是本題的關鍵．