Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，點D是弧

ABC

的中點，弦DE⊥AB，垂足為點F，DE交AC于點G．
（1）圖中有哪些相等的線段；（要求：不再標注其他字母，找結論的過程中所作的輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程）
（2）若過點E作⊙O的切線ME，交AC延長線于點M（請補完整圖形），試問．ME=MG是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）在滿足第（2）問的條件下，已知AF=3，FB=

4

3

，求AG與GM的長．（第（1）問中的結論可直接利用）

Answer 1

分析：（1）圖中相等的應該有半徑AO=OB，根據垂徑定理有：AF=EF，

AD

=

AE

，由于

AD

=

CD

，因此

AD

=

AE

=

CD

，那么如果連接EC，∠DEC=∠ACE，CG=GE，

AE

=

CD

，那么

AEC

=

DCE

，因此DE=AC，于是AG=GD，因此圖中應該有5對相等的線段；
（2）可通過角的關系來判斷邊的關系，根據EM是圓O的切線，如果我們連接AD、AE，那么∠GEM=∠EAD，現在的關鍵是證明∠MGE=∠EAD，因為∠MGE=∠EAG+∠DEA，∠DAE=∠EAG+∠DAG，如果要得出∠DAG=∠DEA的話，就能得出∠MGE=∠MEG的結論，而題中告訴了于

AD

=

CD

，因此這兩個角就相等了．由此便可根據等角對等邊來得出ME=MG；
（3）知道了AF、BF的長也就知道了AB、AC的長，現在AG、AC、AF、AB都在相似三角形AEG和ACB中，那么可根據這些線段的比例關系求出AG的長，有了AG的長，AC的長，也就求出了GC的長，下面求MG的長，由（2）知ME=MG，那么根據切割線定理可得：ME²=MC•MA，而ME=MG，MC=MG-GC，MA=MG+AG，已求得了AG、GC的長，那么將等量關系中的相等值進行置換后可得出MG的長．

解答：解：（1）AO=OB，DF=EF，AC=DE，AG=DG，CG=GE；

（2）ME=MG成立，
證明：連接AD、AE，
∵

AD

=

CD

，
∴∠DEA=∠CAD，
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM，
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD；
∵EM是⊙O的切線，
∴∠GEM=∠EAD，
∴∠EGM=∠GEM，
∴ME=MG；

（3）連接BC，
∵DF⊥AB，AF=3，FB=

4

3

，
∴DF²=AF•FB=4，
∴DF=2；
由（1）知：AC=DE=2DF=4，
由Rt△ABC∽Rt△AGF，得：

AG

AB

=

AF

AC

?AG=

AB•AF

AC

=

(3+ 4 3 )×3

4

=

13

4

由切割線定理得：EM²=MC•MA，即MG²=（MG-GC）（MG+AG）
∴MG²=[MG-（4-

13

4

）]（MG+

13

4

）
∴MG=

39

40

．

點評：本題主要考查了切線的性質，相似三角形的性質以及圓周角定理，垂徑定理等知識點的綜合應用，根據圓周角得出弧相等進而得出相關的角相等是解題的關鍵．