Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，點D為AB的中點，若直角MDN繞點D旋轉，分別交AC于點E，交BC于點M，則下列說法正確的有（ ）
①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面積為一個定值，則EF的長也是一個定值．

A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①如果連接CD，可證△ADE≌△CDF，得出AE=CF；
②由①知，EC+CF=EC+AE=AC，而AC為等腰直角△ABC的直角邊，由于斜邊AB=8，由勾股定理可求出AC=BC=4；
③由①知DE=DF；
④∵△ECF的面積=×CE×CF，如果這是一個定值，則CE•CF是一個定值，又EC+CF=，從而可唯一確定EC與EF的值，由勾股定理知EF的長也是一個定值．
解答：解：①連接CD．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點D為AB的中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
在△ADE與△CDF中，∠A=DCF=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF．說法正確；
②∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，
∴AC=BC=4．
由①知AE=CF，
∴EC+CF=EC+AE=AC=4．說法正確；
③由①知△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．說法正確；
④∵△ECF的面積=×CE×CF，如果這是一個定值，則CE•CF是一個定值，
又∵EC+CF=，
∴可唯一確定EC與EF的值，
再由勾股定理知EF的長也是一個定值，說法正確．
故選D．
點評：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及方程的思想，有一定難度．