Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（﹣2，0），C（6，0）．

（1）直接寫出拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）如圖2，連接AB，AC，設點P（m，n）是拋物線上位于第一象限內的一動點，且在對稱軸右側，過點P作PD⊥AC于點E，交x軸于點D，過點P作PG∥AB交AC于點F，交x軸于點G．設線段DG的長為d，求d與m的函數關系式，并注明m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若△PDG的面積為，

①求點P的坐標；

②設M為直線AP上一動點，連接OM交直線AC于點S，則點M在運動過程中，在拋物線上是否存在點R，使得△ARS為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M及其對應的點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y（x﹣2）2+8，拋物線對稱軸為直線x＝2；（2）d＝m2m+4（2＜m＜6）；（3）①點P坐標為（5，），②M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（2，8）；M3（，），R3（4，6）；M4（6，3），R4（4，6）．

【解析】

(1)已知拋物線與x軸交點B、C，故可設交點式，再把點A代入即求得拋物線解析式．用配方法或公式求得對稱軸．

(2)過點P作PH⊥x軸于點H，由PD⊥AD于點E易證∠PDH＝45°，故DH＝PH＝n．由PG∥AB易證△PGH∽△ABO，利用對應邊成比例可得GHn，把含m的式子代入d＝DH﹣GH即得到d與m的函數關系式，再由點P的位置確定2＜m＜6．

(3)①用n表示DG、PH，代入S△PDGDGPH，求得n的值(舍去負值)，再利用nm2+2m+6解關于m的方程即求得點P坐標．

②因為△ARS為等腰直角三角形且AS與y軸夾角為45°，故AR與y軸夾角為45°或90°．由于不確定△ARS哪個為直角頂點，故需分3種情況討論，畫出圖形，利用45°或90°來確定點R、S的位置，進而求點R、S坐標，再由S的坐標求直線OM解析式，把直線OM與直線AP解析式聯立方程組，解得點M坐標．

解：(1)∵拋物線與x軸交于點B(﹣2，0)，C(6，0)

∴設交點式y＝a(x+2)(x﹣6)

∵拋物線過點A(0，6)

∴﹣12a＝6

∴a

∴拋物線解析式為y(x+2)(x﹣6)x2+2x+6(x﹣2)2+8

∴拋物線對稱軸為直線x＝2．

(2)過點P作PH⊥x軸于點H，如圖1

∴∠PHD＝90°

∵點P(m，n)是拋物線上位于第一象限內的一動點且在對稱軸右側

∴2＜m＜6，PH＝nm2+2m+6，n＞0

∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°

∴∠ACO＝45°

∵PD⊥AC于點E

∴∠CED＝90°

∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°

∴DH＝PH＝n

∵PG∥AB

∴∠PGH＝∠ABO

∴△PGH∽△ABO

∴

∴GHn

∴d＝DH﹣GH＝nnn(m2+2m+6)m2m+4(2＜m＜6)

(3)①∵S△PDGDGPH

∴nn

解得：n1，n2(舍去)

∴m2+2m+6

解得：m1＝﹣1(舍去)，m2＝5

∴點P坐標為(5，)

②在拋物線上存在點R，使得△ARS為等腰直角三角形．

設直線AP解析式為y＝kx+6

把點P代入得：5k+6

∴k

∴直線AP：yx+6

i)若∠RAS＝90°，且S在線段AC上，如圖2

∵直線AC解析式為y＝﹣x+6

∴直線AR解析式為y＝x+6

解得：(即點A)

∴R(2，8)

∵∠ASR＝∠OAC＝45°

∴RS∥y軸

∴xS＝xR＝2

∴S(2，4)

∴直線OM：y＝2x

∵ 解得：

∴M(，)

ii)若∠RAS＝90°，且S在線段CA延長線上，如圖3

∴R(2，8)

∴yS＝yR＝8

∴S(﹣2，8)

∴直線OM：y＝﹣4x

∵ 解得：

∴M(，)

iii)若∠ASR＝90°，如圖4

∴∠SAR＝∠ACO＝45°

∴AR∥x軸

∴R(4，6)

∵S在AR的垂直平分線上

∴S(2，4)

∴M(，)

iiii)若∠ARS＝90°，如圖5

∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y軸

∴AR∥x軸

∴R(4，6)

∴S(4，2)

∴直線OM：yx

∵ 解得：

∴M(6，3)

綜上所述，M1(，)，R1(2，8)；M2(，)，R2(2，8)；M3(，)，R3(4，6)；M4(6，3)，R4(4，6)．