Question

（2006•靜安區二模）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點A，與大圓相交于B，大圓的弦BC⊥AB，過點C作大圓的切線交AB的延長線于D，OC交小圓于E
（1）求證：△AOB∽△BDC；
（2）設大圓的半徑為x，CD的長y，yx之間的函數解析式，并寫出定義域．
（3）△BCE能否成為等腰三角形？如果可能，求出大圓半徑；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由大⊙O與CD相切于點C，根據切線的性質，可得∠DCO=90°，又由BC⊥AB，OB=OC，根據等邊對等角與等角的余角相等，可得∠BCD=∠ABO，又由小⊙O與AB相切于點A，可得∠CBD=∠BAO=90°，由有兩角對應相等的三角形相似，即可判定△AOB∽△BDC；
（2）首先過點O作OH⊥BC，垂足為H．易得四邊形OABH是矩形，由勾股定理可得AB=

x2-1

，又由△AOB∽△BDC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得y與x之間的函數解析式；
（3）分別從EB=EC，CE=CB，BC=BE去分析求解，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵大⊙O與CD相切于點C，
∴∠DCO=90°．
∴∠BCD+∠OBC=90°，…（1分）
∵CB⊥AD，
∴∠ABO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，…（1分）
∴∠BCD=∠ABO．…（1分）
∵小⊙O與AB相切于點A，
∴∠BAO=90°．
∴∠CBD=∠BAO．…（1分）
∴△AOB∽△BDC．…（1分）

（2）解：過點O作OH⊥BC，垂足為H．
∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90°，
∴四邊形OABH是矩形．…（1分）
∵BC是大⊙O的弦，
∴BC=2BH=2OA=2，…（1分）
在Rt△OAB中，AB=

OB2-OA2

=

x2-1

．…（1分）
∵△AOB∽△BDC，
∴

CD

OB

=

CB

AB

，…（1分）
∴

y

x

=

2

x2-1

，
∴函數解析式為y=

2x

x2-1

，…（1分）
定義域為：x＞1．…（1分）

（3）解：當EB=EC時，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，
∴EB≠EC．
當CE=CB時，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．…（1分）
當BC=BE時，∠BEC=∠ECB=∠OBC，則△BCE∽△OCB．…（1分）
則

CE

BC

=

BC

OC

，
設OC=x，則CE=x-1，

x-1

2

=

2

x

，
解得：x=

1± 17

2

（負值舍去）．
∴OC=

1+ 17

2

．…（1分）
綜上所述，△BCE能成為等腰三角形，這時大圓半徑為3或

1+ 17

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，二次根式有意義的條件，切線的性質以及等腰三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．