Question

【題目】已知：如圖，在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E、F，AE、CF分別與BD相交于點(diǎn)G、H，聯(lián)結(jié)AH、CG．

求證：四邊形AGCH是平行四邊形．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】法1：由平行四邊形對(duì)邊平行，且CF與AD垂直，得到CF與BC垂直，根據(jù)AE與BC垂直，得到AE與CF平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等角的補(bǔ)角相等得到∠AGB=∠DHC，根據(jù)AB與CD平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG與三角形CDH全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AG=CH，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；

法2：連接AC，與BD交于點(diǎn)O，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB與CD平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)CF與AD垂直，AE與BC垂直，得一對(duì)直角相等，利用ASA得到三角形ABG與三角形CDH全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BG=DH，根據(jù)等式的性質(zhì)得到OG=OH，利用對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得證．

證明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，

∵CF⊥AD，∴CF⊥BC，

∵AE⊥BC，∴AE∥CF，即AG∥CH，∴∠AGH=∠CHG，

∵∠AGB=180°﹣∠AGH，∠DHC=180°﹣∠CHG，

∴∠AGB=∠DHC，

∵AB∥CD，∴∠ABG=∠CDH，∴△ABG≌CDH，

∴AG=CH，

∴四邊形AGCH是平行四邊形；

法2：連接AC，與BD相交于點(diǎn)O，

在□ABCD中，AO=CO，BO=DO，∠ABE=∠CDF，AB∥CD，

∴∠ABG=∠CDH，

∵CF⊥AD，AE⊥BC，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴∠BAG=∠DCH，

∴△ABG≌CDH，

∴BG=DH，

∴BO﹣BG=DO﹣DH，

∴OG=OH，

∴四邊形AGCH是平行四邊形．

“點(diǎn)睛”此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平式子變形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.