Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于兩點（點位于點的左側），與軸相交于點，是拋物線的頂點，直線是拋物線的對稱軸，且點的坐標為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）已知為線段上一個動點，過點作軸于點．若的面積為．

①求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

②當取得最值時，求點的坐標．

（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在點，使為等腰三角形？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當時，取得最大值，此時；（3）存在，點的坐標為或．

【解析】

（1）點C坐標代入解析式可求c的值，由對稱軸可求b的值，即可求解；
（2）①先求出點M，點A，點B的坐標，利用待定系數法可求BM解析式，由三角形的面積公式可求解；
②利用二次函數的性質可求解；
（3）分三種情況討論，利用兩點距離公式列出方程可求解．

（1）拋物線的對稱軸為直線．

又拋物線與軸的交點為，

拋物線的解析式為．

（2）①頂點．

設直線的解析式為．

將代入，

得解得

直線的解析式為．

軸且，

的面積．

點在線段上，且，

，

故與之間的函數關系式為．

②，

當時，取得最大值；

當時，沒有最小值．

綜上，當時，取得最大值，此時

（3）存在．

當時，

，

，

解得（舍去）或，此時．

當時，

解得（舍去）或，此時．

當時，

，

，

解得或，均不符合題意，舍去．

綜上所訴，存在點使為等腰三角形，點的坐標為或．