Question

（2012•相城區一模）如圖，拋物線y=

1

4

x²+bx+c的頂點為M，對稱軸是直線x=1，與x軸的交點為A（-3，0）和B．將拋物線y=

1

4

x²+bx+c繞點B逆時針方向旋轉90°，點M₁，A₁為點M，A旋轉后的對應點，旋轉后的拋物線與y軸相交于C，D兩點．
（1）寫出點B的坐標及求拋物線y=

1

4

x²+bx+c的解析式；
（2）求證：A，M，A₁三點在同一直線上；
（3）設點P是旋轉后拋物線上DM₁之間的一動點，是否存在一點P，使四邊形PM₁MD的面積最大？如果存在，請求出點P的坐標及四邊形PM₁MD的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱性即可寫出B的坐標，根據對稱軸是直線x=1，與x軸的交點為A（-3，0）代入即可得到方程-

b

2× 1 4

=1，0=

(-3)2

4

-3b+c，解由這兩個組成的方程，即可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）把x=1代入拋物線解析式即可得到M的坐標，根據旋轉和圖象即可求出M₁、A₁的坐標，設直線AM的表達式為y=kx+m，把A、M的坐標代入即可求出直線AM的解析式，把A₁的坐標代入即可得到答案；
（3）存在點P使四邊形PM₁MD的面積最大．連接M₁D，只要S_△M1PD最大，先代入拋物線的解析式求出F的坐標，設點Q的坐標為（n，

1

4

n²-

1

2

n-

15

4

），設直線MF的表達式為y=px+q，把M、F的坐標代入即可求出直線MF的解析式，設直線MF上有一點R（m，-

3

2

m-

5

2

），求出S_△M1PD=-

3

4

（m+2）²+

27

4

的最大值，求出m的值，進一步求出Q、P的坐標，再求出四邊形PM₁MD的面積即可．

解答：（1）解：∵拋物線y=

1

4

x²+bx+c的頂點為M，對稱軸是直線x=1，與x軸的交點為A（-3，0）和B，
∴點B的坐標為（5，0），

- b 2× 1 4 =1 (-3)2 4 -3b+c=0

解得

b=- 1 2 c=- 15 4

，
∴拋物線解析式為y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

．

（2）證明：由題意可得：把x=1代入拋物線解析式y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

，
得：y=-4
則點M的坐標為（1，-4），
根據旋轉和圖象可得：點M₁的坐標為（9，-4），
點A₁的坐標為（5，-8），
設直線AM的表達式為y=kx+m．
則有

0=-3k+m -4=k+m

，
解得

k=-1 m=-3

，
則直線AM的表達式為y=-x-3．
把x=5代入y=-x-3，得y=-8．
即直線AM經過點A₁．
故A，M，A₁三點在同一直線上．

（3）解：存在點P使四邊形PM₁MD的面積最大．連接M₁D，
∵S_△M1MD是定值，
∴要使四邊形PM₁MD的面積最大，只要S_△M1PD最大，
將△M₁PD繞點B順時針旋轉90°，則點M₁與點M重合，
點P與點Q重合，點D與點F重合．點Q，F都在拋物線y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

，
∴點F的坐標為（-5，5），
過點Q作QR∥y軸交FM于點R，設點Q的坐標為（n，

1

4

n²-

1

2

n-

15

4

），
設直線MF的表達式為y=px+q，
則有

p+q=-4 -5p+q=5

，
解得

p=- 3 2 q=- 5 2

，
則直線MF的表達式為y=-

3

2

x-

5

2

，
設直線MF上有一點R（m，-

3

2

m-

5

2

），則
S_△M1PD=

1

2

×6×（-

3

2

m-

5

2

-

1

4

m²+

1

2

m+

15

4

），
=-

3

4

m²-3m+

15

4

，
=-

3

4

（m+2）²+

27

4

，
∴當m=-2時，S_{△M1PD最大}=

27

4

，
若m=-2時，

1

4

m²-

1

2

m-

15

4

=-

7

4

，
所以，點Q（-2，-

7

4

），
故點P的坐標為（

27

4

，-7），
∵點M的坐標為（1，-4），點M₁的坐標為（9，-4），
∴S_△DM1M的面積為

1

2

×6×8=24，四邊形PM₁MD的面積為24+

27

4

=

123

4

，
∴存在點P（

27

4

，-7）使四邊形PM₁MD的面積最大，面積最大值為

123

4

．

點評：本題主要考查了對一次函數的圖象上點的坐標特征，用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，二次函數的圖象上點的坐標特征，解一元一次方程，旋轉，三角形的面積，解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性較強的題目，有一定的難度．