Question

解答題
①已知：如圖，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的長．
②如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

Answer 1

分析：①過C作CE⊥BE交BA的延長線于E，求出∠ACE=30°，求出AE，CE，根據三角形面積公式得出AB×CE=CB×AD，代入求出即可；
②根據題意畫出P點的位置，得出A、C關于小河對稱，求出BO、CO，根據勾股定理求出BC，即可求出答案．

解答：①解：過C作CE⊥BA交BA的延長線于E，
∵∠CAB=120°，
∴∠CAE=60°，
∴∠ACE=30°
∵AC=2，
∴AE=

1

2

AC=1
∵在Rt△ACE中，由勾股定理可得：CE²=AC²-AE²=3，
∴CE=

3

，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC²=CE²+BE²=28，
∴BC=2

7

∵S△ABC=

1

2

AB×CE=

1

2

CB×AD，
∴

1

2

×4×

3

=

1

2

×2

7

×AD，
∴AD=

2

7

21

；
②解：
作A關于小河（EF）的對稱點C，連接BC交EF于P，則此時AP+BP最小，
過B作OB⊥AC于O，
則BO=8，CA=4+4=8，CO=8+7=15，
則PA+PB=PC+PB=BC=

152+82

=17（km），
答：要完成這件事情所走的最短路程是17km．

點評：本題考查了勾股定理、軸對稱-最短路線問題、含30度角的直角三角形的應用，解（1）的關鍵是得出關系式AB×CE=CB×AD和求出CB、CE的長，解（2）的關鍵是找出P點的位置．