Question

（2013•玉田縣一模）如圖，把正六邊形各邊按同一方向延長，使延長的線段長度與原正六邊形的長度相等，順次連接這六條線段外端點可以得到一個新的正六邊形，重復上述過程，經過8次后，所得到的正六邊形的邊長是原六邊形邊長的

81

倍．

Answer 1

分析：先根據正六邊形的性質得出∠1的度數，再根據AD=CD=BC判斷出△ABC的形狀及∠2的度數，求出AB的長，進而可得出，經過8次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的倍數．

解答：解：∵此六邊形是正六邊形，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD為等邊三角形，
∴BD=

1

2

AC，
∴△ABC是直角三角形
又BC=

1

2

AC，
∴∠2=30°，
∴AB=

3

BC=

3

CD，
同理可得，經過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長（

3

）²=3倍，
∴經過8次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的（

3

）⁸=81倍．
故答案為：81．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關鍵是熟知正多邊形內角的性質及直角三角形的判定定理．