Question

【題目】如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點C，BD平分∠ABF，且交AE于點D，連接CD．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由平行線的性質和角平分線定義得出∠ABD＝∠ADB，證出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結論；

（2）由菱形的性質得出AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，再由三角函數即可得出AD的長．

證明：（1）∵AE∥BF，

∴∠ADB＝∠CBD，

又∵BD平分∠ABF，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

同理：AB＝BC，

∴AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AB＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，BD＝12，

∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，

∵∠ADB＝30°，

∴cos∠ADB＝，

∴．