Question

【題目】綜合與實踐

問題背景

折紙是一種許多人熟悉的活動，將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的，但將一邊三等分就不是那么容易了，近些年，經過人們的不懈努力，已經找到了多種將正方形折紙一邊三等分的精確折法，最著名的是由日本學者芳賀和夫發現的三種折法，現在被數學界稱之為芳賀折紙三定理．其中，芳賀折紙第一定理的操作過程及內容如下（如圖1）：

操作1：將正方形ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；

操作2：再將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E與AB交于點P．則P即為AB的三等分點，即AP：PB=2：1．

解決問題

（1）在圖1中，若EF與MN交于點Q，連接CQ．求證：四邊形EQCM是菱形；

（2）請在圖1中證明AP：PB=2：l．

發現感悟

若E為正方形紙片ABCD的邊AD上的任意一點，重復“問題背景”中操作2的折紙過程，請你思考并解決如下問題：

（3）如圖2．若 =2．則=　 　；

（4）如圖3，若=3，則=　 　；

（5）根據問題（2），（3），（4）給你的啟示，你能發現一個更加一般化的結論嗎？請把你的結論寫出來，不要求證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)4;(4)6;(5)見解析.

【解析】分析：（1）由折疊可得，CM=EM，∠CMQ=∠EMQ，四邊形CDEF是矩形，由CM=EQ，CM∥QE，可證四邊形EQCM是平行四邊形，進而證明四邊形EQCM是菱形；

（2）設正方形ABCD的邊長為1，CM=x，則EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可求得x的值，由△AEP∽△DME，列比例式求出AP的值，進而求出PB的值，從而結論可求；

（3）設正方形ABCD的邊長為1，CM=x，則EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可得x的值，由△AEP∽△DME，可得AP的值和BP的值，進而求得結論.

（4）與（3）相同的方法求解即可；

（5）與（3）相同的方法求解即可；

詳解：（1）由折疊可得，CM=EM，∠CMQ=∠EMQ，四邊形CDEF是矩形，

∴CD∥EF，

∴∠CMQ=∠EQM，

∴∠EQM=∠EMQ，

∴ME=EQ，

∴CM=EQ，

又∵CM∥QE，

∴四邊形EQCM是平行四邊形，

又∵CM=EM，

∴四邊形EQCM是菱形；

（2）如圖1，設正方形ABCD的邊長為1，CM=x，則EM=x，DM=1﹣x，

在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，

即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，

∴CM=，DM=，

∵∠PEM=∠D=90°，

∴∠AEP+∠DEM=90°，∠DEM+∠EMD=90°，

∴∠AEP=∠DME，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△AEP∽△DME，

∴=，即，解得AP=，

∴PB=，

∴AP：PB=2：l．

（3）如圖2，設正方形ABCD的邊長為1，CM=x，則EM=x，DM=1﹣x，

在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，

即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，

即CM=，

∴DM=，

由△AEP∽△DME，可得

=，即，解得AP=，

∴PB=，

∴=4，

故答案為：4；

（4）如圖3，同理可得AP=，PB=，

∴=6，

故答案為：6；

（5）根據問題（2），（3），（4），可得當（n為正整數），則．

理由：設正方形ABCD的邊長為1，CM=x，則EM=x，DM=1﹣x，

在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，

即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，

∴DM=1﹣CM=，

由△AEP∽△DME，可得

=，即，解得AP=，

∴PB=，

∴．