Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象Q與x軸有且只有一個交點P，與y軸的交點為B（0，4），且ac=b，
（1）求這個二次函數的解析式．
（2）將一次函數y=-3x的圖象作適當平移，使它經過點P，記所得的圖象為L，圖象L與Q的另一個交點為C，請在y軸上找一點D，使得△CDP的周長最短．

Answer 1

分析：（1）由B的坐標可求出c的值，根據圖象Q與x軸有且只有一個交點P和ac=b能求出P的坐標，即可得到解析式；
（2）設圖象L的函數解析式為y=-3x+b，把P的坐標代入即可求出即平移后所得一次函數的解析式，令-3x-6=x²+4x+4，即可求出兩交點C、P坐標，再求出P關于關于y軸的對稱點P′的坐標（2，0），設直線CP′的解析式是y=dx+e，把C、P′的坐標代入即可求出解析式，再求出直線CP′與Y軸交點即可．

解答：解：（1）由B（0，4）得，c=4，
Q與x軸的交點P（-

b

2a

，0），
由條件ac=b，得

b

a

=c，
∴-

b

2a

=-

c

2

=-2，
即P（-2，0），
∴

b=4a 4a-2b+4=0.

，
解得

a=1 b=4.

所求二次函數的解析式為y=x²+4x+4，
答：這個二次函數的解析式是y=x²+4x+4．

（2）設圖象L的函數解析式為y=-3x+b，因圖象L過點P（-2，0），
代入得：b=-6
即平移后所得一次函數的解析式為y=-3x-6，
令-3x-6=x²+4x+4，
解得x₁=-2，x₂=-5，
將它們分別代入y=-3x-6，
得y₁=0，y₂=9．
∴圖象L與Q的另一個交點為C（-5，9），
∵點P（-2，0）關于y軸的對稱點為點P′（2，0），
設直線CP′的解析式是y=dx+e，
把C（-5，9），P′（2，0），代入得：

9=-5d+e 0=2d+e

，
解得：

d=- 9 7 e= 18 7

，
則直線CP′的解析式為y=-

9

7

x+

18

7

，
且與y軸的交點為D(0，

18

7

)
即在y軸上使得C_△CDP最小的點是D(0，

18

7

)，
答：y軸上D（0，

18

7

），能使得△CDP的周長最短．

點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，解二元一次方程組，解一元二次方程，關于Y軸對稱的點的坐標等知識點，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度．